测试精算符号markdown对数学公式的支持

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4.1 利率

债是最古老和最根本的金融活动。我们的社会本质上就是形形色色的债务关系的总和。维持庞大复杂的债务网络的核心，是债务的成本要均衡、稳定和可持续，而债务的成本，就是利率。费雪把利率定义为“现在消费和将来消费进行交换的价格”——资金有时间价值，所以让渡一部分的现在消费，就需要利息作为补偿或报酬。

我们对利息(率)（interest）给出如下定义：

利息(率)（interest）是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者 (债权人， lender) 因贷出货币或货币资本（capital）而从借款人 (债务人， borrower) 手中获得的报酬。包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。

4.1.1 利率

• 利率的基本概念
  • Principal；Capital：本金。业务开始时投资的金额。
  • Accumulated value：积累值。业务结束时收回的总金额。
  • Interest：利息(率).积累值和本金之差。
• 单利 Simple interest
  假定本金为​C，利率为​i，则​n年后的积累值为：​C\left(1 + n i\right)
• 复利 Compound (effective) interest
  假定本金为​C，利率为​i，则​n年后的积累值为：​C\left(1+i\right)^n

练习 4.1：
Calculate the length of time it will take ￡ 800 to accumulate to ￡1000 at a simple rate of interest of 4% pa.

解答：
The length of time can be found from the equation:

\begin {align*} &800(1+0.04t)=1000\\ &\Rightarrow n=6.25years \end{align*}

4.1.2 积累因子

定义积累因子(Accumulation factor)​A(t_{1},t_{2})为​t_{1}时刻单位 1 的投资在​t_{2}时刻的积累值。 ​A(0,n)可以简写为​A(n).

• 单利的情况，在时间区间​(0,n)上的积累因子：​A(n)=1+ni
• 复利的情况，在时间区间​(0,n)上的积累因子：​A(n)=(1+i)^{n}

4.1.3 现值

​n时刻的存款​C在 0 时刻的现值(Present value):

PV=\frac{C}{(1+i)^n}

• 为便于书写， 定义函数​v=\tfrac{1}{1+i}. 则现值的表达式可进一步简写为 ​PV=Cv^{n}
• ​v^n 的值可以查 “Formulae and Tables for Examination”(Tables).

注意，题目中要求的四舍五入有两种表述：

\left\{ \begin{array}{cc} {\mbox{Significant figures}}&{\mbox{保留几位有效数字}}\\ {\mbox{Decimal places}}&{\mbox{保留几位小数}} \end{array} \right.

4.2 贴现率

4.2.1 贴现率

• 单贴现率 Simple discount}
  假定​n时刻的存款为​C，贴现率为​d，0 时刻的现值为：​C\left(1-nd\right)
• 复贴现率 Compound (effective) discount}
  假定​n时刻的存款为​C，贴现率为​d，0 时刻的现值为：​C\left(1-d\right)^n

4.2.2 贴现因子

定义贴现因子(Discount factors) ​v(n)为​t时刻 1 单位的积累值在 0 时刻的现值。则：

v(n)=\frac{1}{A(n)}

4.3 实际利率和实际贴现率

4.3.1 实际利率

记第​n期（​n-1时刻至​n时刻）的实际利率为​i_{n} ，则：

i_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}

4.3.2 实际贴现率

记第​n期（​n-1时刻至​n时刻）的实际贴现率为​d_{n} ，则：

d_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n)}

4.4 等价率

等价率(Equivalent rates)研究的是​i,d,v三者之间的关系：

C(1+i)^{-n}=Cv^{n}=C(1-d)^{n}

v=1-d

d=1-v=1-\frac{1}{1+i}=\frac{i}{1+i}=iv

题型 4.1. 等价率

等价率问题：已知​i,求出等价的​d，或已知​d,求出等价的​i。

对待此类问题，直接列式：

\mbox{积累因子}=\frac{1}{\mbox{贴现因子}}

其中：

\mbox{积累因子}=\left\{ \begin{array}{cc} {1+ni} & {\mbox{单利}}\\ {(1+i)^n} & {\mbox{复利}} \end{array} \right.

\mbox{贴现因子}=\left\{\begin{array}{cc} {1-nd} & {\mbox{单贴现率}}\\ {(1-d)^n} & {\mbox{复贴现率}} \end{array} \right.

例题 4.1 (CT1 September 2011 Q1)

A 91-day treasury bill is issued by the government at a simple rate of discount of 8% per annum.

Calculate the annual effective rate of return obtained by an investor who purchases the bill at issue.

思路

根据题意，直接列式：

1-nd=(1+i)^{-n}

其中，期限​n=\tfrac{91}{365}, 单贴现率​d=8\%. 求等价的复利​i.

解

\begin{align*} &\left(1-\frac{91}{365} \times 0.08\right)=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \\ &0.980055=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \\ &1+i=1.08416 \Rightarrow i=8.416\% \end{align*}

第 4 章 习题

Exercise 2: CT1 September 2018 Q1

An investor is considering two investments. One investment is a 91-day bond issued by a bank which pays a rate of interest of 4% per annum effective. The second is a 91-day treasury bill which pays out