测试精算符号markdown对数学公式的支持

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4.1 利率

债是最古老和最根本的金融活动。我们的社会本质上就是形形色色的债务关系的总和。维持庞大复杂的债务网络的核心，是债务的成本要均衡、稳定和可持续，而债务的成本，就是利率。费雪把利率定义为“现在消费和将来消费进行交换的价格”——资金有时间价值，所以让渡一部分的现在消费，就需要利息作为补偿或报酬。

我们对利息(率)（interest）给出如下定义：

利息(率)（interest）是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者 (债权人， lender) 因贷出货币或货币资本（capital）而从借款人 (债务人， borrower) 手中获得的报酬。包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。

4.1.1 利率

• 利率的基本概念
  • Principal；Capital：本金。业务开始时投资的金额。
  • Accumulated value：积累值。业务结束时收回的总金额。
  • Interest：利息(率).积累值和本金之差。
• 单利 Simple interest 假定本金为$C$，利率为$i$，则$n$年后的积累值为：$C\left(1 + n i\right)$
• 复利 Compound (effective) interest 假定本金为$C$，利率为$i$，则$n$年后的积累值为：$C\left(1+i\right)^n$

练习 4.1： Calculate the length of time it will take ￡ 800 to accumulate to ￡1000 at a simple rate of interest of 4% pa.

解答： The length of time can be found from the equation:

$$ \begin {align} &800(1+0.04t)=1000\ &\Rightarrow n=6.25years \end{align} $$

4.1.2 积累因子

定义积累因子(Accumulation factor)$A(t{1},t{2})$为$t{1}$时刻单位 1 的投资在$t{2}$时刻的积累值。 $A(0,n)$可以简写为$A(n)$.

• 单利的情况，在时间区间$(0,n)$上的积累因子：$A(n)=1+ni$
• 复利的情况，在时间区间$(0,n)$上的积累因子：$A(n)=(1+i)^{n}$

4.1.3 现值

$n$时刻的存款$C$在 0 时刻的现值(Present value):

$$ PV=\frac{C}{(1+i)^n} $$

• 为便于书写， 定义函数$v=\tfrac{1}{1+i}$. 则现值的表达式可进一步简写为 $PV=Cv^{n}$
• $v^n$ 的值可以查 “Formulae and Tables for Examination”(Tables).

注意，题目中要求的四舍五入有两种表述：

$$ \left{ \begin{array}{cc} {\mbox{Significant figures}}&{\mbox{保留几位有效数字}}\ {\mbox{Decimal places}}&{\mbox{保留几位小数}} \end{array} \right. $$

4.2 贴现率

4.2.1 贴现率

• 单贴现率 Simple discount} 假定$n$时刻的存款为$C$，贴现率为$d$，0 时刻的现值为：$C\left(1-nd\right)$
• 复贴现率 Compound (effective) discount} 假定$n$时刻的存款为$C$，贴现率为$d$，0 时刻的现值为：$C\left(1-d\right)^n$

4.2.2 贴现因子

定义贴现因子(Discount factors) $v(n)$为$t$时刻 1 单位的积累值在 0 时刻的现值。则：

$$ v(n)=\frac{1}{A(n)} $$

4.3 实际利率和实际贴现率

4.3.1 实际利率

记第$n$期（$n-1$时刻至$n$时刻）的实际利率为$i_{n}$ ，则：

$$ i_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)} $$

4.3.2 实际贴现率

记第$n$期（$n-1$时刻至$n$时刻）的实际贴现率为$d_{n}$ ，则：

$$ d_{n}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n)} $$

4.4 等价率

等价率(Equivalent rates)研究的是$i,d,v$三者之间的关系：

$$ C(1+i)^{-n}=Cv^{n}=C(1-d)^{n} $$

$$ v=1-d $$

$$ d=1-v=1-\frac{1}{1+i}=\frac{i}{1+i}=iv $$

题型 4.1. 等价率

等价率问题：已知$i$,求出等价的$d$，或已知$d$,求出等价的$i$。

对待此类问题，直接列式：

$$ \mbox{积累因子}=\frac{1}{\mbox{贴现因子}} $$

其中：

$$ \mbox{积累因子}=\left{ \begin{array}{cc} {1+ni} & {\mbox{单利}}\ {(1+i)^n} & {\mbox{复利}} \end{array} \right. $$

$$ \mbox{贴现因子}=\left{\begin{array}{cc} {1-nd} & {\mbox{单贴现率}}\ {(1-d)^n} & {\mbox{复贴现率}} \end{array} \right. $$

例题 4.1 (CT1 September 2011 Q1)

A 91-day treasury bill is issued by the government at a simple rate of discount of 8% per annum.

Calculate the annual effective rate of return obtained by an investor who purchases the bill at issue.

思路

根据题意，直接列式：

$$ 1-nd=(1+i)^{-n} $$

其中，期限$n=\tfrac{91}{365}$, 单贴现率$d=8\%$. 求等价的复利$i$.

解

$$ \begin{align} &\left(1-\frac{91}{365} \times 0.08\right)=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \ &0.980055=(1+i)^{-\frac{91}{365}} \ &1+i=1.08416 \Rightarrow i=8.416\% \end{align} $$

第 4 章 习题

Exercise 2: CT1 September 2018 Q1

An investor is considering two investments. One investment is a 91-day bond issued by a bank which pays a rate of interest of 4% per annum effective. The second is a 91-day treasury bill which pays out